等额本息的求解之路

房贷计算器

等额本息的意思是，本金加利息是等额的，所以每个月的还款额是一样的。等额本金说的是每个月还的本金是一样的，所以随着本金越还越少，则相应的利息部分越来越少。

假设我们借了 12 万块，等额本息，分 12 个月还，那么我们可以列出这样的等式，来理解计算过程，帮助我们求出每个月的还款额。其中 p 表示月利率，月利率等于年利率除以 12 个月，A 是我们要求的每月还款额。在这个例子中，我们假设年利率为百分之 6.

a₀ = 12；# 这表示我们借了 12 万的本金

a₁ = a₀ * (1 + p) - A; # 第一个月的利息加本金，减去还款额 A，表示还款了一个月后，未还的钱

a₂ = a₁ * (1 + p) - A; # 以此类推

a_n = a_n-1 * (1 + p) - A; # 当第 12 月的时候，全部还完，当 n =12 时，则这个等式的左右 2 边都为 0。

怎么根据这些例子来求出 A 值呢，我先编程实现了这样一段代码。

 let AnnualInterestRate = 6 / 100;
 let monthlyInterestRate = AnnualInterestRate / 12;
 let summaryRate = 1 + monthlyInterestRate;

 let loanAmount = 12 * 10000;

 let numberOfPeriods = 12;

 function fn(i) {
    if (i === 0) return loanAmount;

    return "(" + fn(i - 1) + " * " + summaryRate + " - x)";
 }

 let v = fn(numberOfPeriods);
 console.log(v + " = 0");

可以拿到公式是：

((((((((((((120000 * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) = 0

完美，我们来解决这个方程里的 x 值就好了。

难道我们真的要解开这个一元十二次方程吗？想了想还是有点难，去网上找了一个工具：https://www.wolframalpha.com/

算出的结果是 10328 元。这就是借款 12 万，等额本息，分 12 期还，每期要还的钱。

假设分 30 年来还，也就是 360 期，那么等式就是这样的：

((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((120000 * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) * 1.005 - x) = 0

要解出这个方程，感觉有点难度。必须得换一个思路来解决问题。

我们把上面的式子展开。1 + p 用大写字母 M 来替代。

a₀ = 12

a₁ = a₀M - A = 12M - A

a₂ = a₁M - A = (12M - A)M - A = 12M² - MA - A

a₃ = a₂M - A = (12M² - MA - A)M - A = 12M³ - M²A - MA - A

我们可以看到，这里有一个规律，里面有一个等比数列在，在第 n 个月，式子可以这样写：

a_n = a_n-1M - A = 12Mⁿ - M^n-1A - M^n-2A - ··· - MA - A

当 a₁₂ = 0 时，代入等比公式，就能求出 A 了。

等比公式求和如下：

$a1 (1 - q^n) \over (1 - q)$

等比公式求和

证明过程可以看这里。

这样一来，我们可以写出如下的代码，求出每月还款额（A）了。

let c = loanAmount * summaryRate ** numberOfPeriods;
let a = 1 - summaryRate ** numberOfPeriods;
let b = ((1 - summaryRate) * c) / a;

console.log("每期的还款额：", b);
console.log("总还款额：", b * numberOfPeriods, "总利息：", b * numberOfPeriods - loanAmount);

总结

其实这里面还有很多问题，可以深究。